任意阶正则线性相位小波滤波器的特征滤波器设计方法2009/02/14

图1　信号一级分解与合成系统

　　其中H₀，G₀为低通滤波器，H₁，G₁为高通滤波器。

　　定义1　h⁽ⁱ⁾(n)=h(n)*h(n/2)*h(n/4)*h(n/2ⁱ)
f⁽ⁱ⁾_h(x)=2^i/2h⁽ⁱ⁾(n) n/2ⁱ≤x≤(n+1)/2ⁱ
　　如果当i→∞时，f⁽ⁱ⁾_h(x)收敛于连续函数，则称h(x)是正则的。因为当i→∞时，f⁽ⁱ⁾_h0(x)→φ(x)，f⁽ⁱ⁾_g0(x)→φ(x)，所以小波滤波器h₀(n)必须是正则的。事实上，如果当i→∞时，f⁽ⁱ⁾_h(x)收敛于连续函数，那么H(z)在z=-1处至少有一个零点，因此可定义H₀(z)=(1+z^-1)^kR(z)，其中R(z)为余式。
　　定理1　如果B=sup｜Rω∈(0，2π)(e^jω)｜＜1/2，则H₀(z)是正则的。
　　定理2　当k≥2时，满足正交条件的线性相位FIR滤波器H₀(z)是正则的。
　　事实上，如果R(z)不能整除(1-z^-1)，则H₀(z)在z=-1处零点个数越多，正则性程度越大^［1］。因此k值是正则性程度大小的标尺。
　　假定H₀(z)的脉冲响应为［h₀(0)，h₀(1)，…，h₀(L-1)］，其中L为滤波器的长度；H₁(Z)的脉冲响应为［h₁(0)，h₁(1)，…，h₁(L-1)］，为满足正交条件h₀(n)，h₁(n)必须满足^［2］：

〈h_i(n-2l)，h_j(n-2k)〉=δ_ijδ_kl　i，j∈(0，1) k，l∈Z　　　　　(1)

我们选择h₁(n)为h₀(n)为镜相滤波器，即h₁(n)=(-1)ⁿh₀(L-1-n)，则式(1)等价于

H₀(z)H₀(z^-1)+H₀(-z)H₀(-z^-1)=2　　　　　　　(2)

　　定理3　等长正交FIR滤波器H₀(z)，H₁(z)的长度必为偶数。
　　定理4　偶数长度线性相位对称滤波器H₀(z)在z=-1处至少有一个零点。
　　根据定理3和定理4，我们选择R(z)的长度和k值皆为奇数。

3　特征滤波器设计方法
　　在本节，我们将用特征滤波器方法设计任意阶正则线性相位近似正交小波滤波器。由于H₀(z)=(1+z^-1)^kR(z)，所以H₀(z)可看作滤波器Q(z)=(1+z^-1)^k和滤波器R(z)的乘积，那么H₀(ω)=Q(ω)*R(ω)，又∵Q(e^jω)=(1+e^-jω)^k=(2cos(ω)/(2))^ke^-jθ(ω)　∴Q(ω)=2cos(ω)/(2)^k　设r(n)=(r(0)，r(1)，…，r(J-1))为R(z)的脉冲响应，其中J为R(z)的长度，很显然如果H₀(z)具有线性相位，则R(z)必须具有线性相位，选择r(n)是对称的，定义M=(J-1)/2，因


　　现在我们进行理想频率响应的研究。由于我们要设计近似正交滤波器，因此必须考虑正交特性。由于h₁(n)=(-1)ⁿh₀(L-1-n)，又∵h₀(n)=h₀(L-1-n)　∴h₁(n)=(-1)ⁿh₀(n)即H₁(z)=H₀(-z)，由式(2)得：

H₀(z)H₀(z^-1)+H₁(z)H₁(z^-1)=2　　　　　　(6)

即：H₀²(ω)+H₁²(ω)=2　又∵H₀(ω)和H₁(ω)互为镜相滤波器，式(6)也可写成：
H₀²(ω)+H₀²(π-ω)=2　　　　　　　　　(7)

因此对于正交小波滤波器有∑h(n)=2，即H₀(0)=2，所以只要H₀(ω)在通带内约等于2，在阻带内约等于0，那么(7)式将近似成立，于是为了正交性的需求，我们选择H₀(ω)的理想频率响应为：
　　　　　　　　(8)

其中ω_p，ω_s分别是通带和阻带频率，当ω_p＜ω＜ω_s时属于过渡带。因此我们的设计原则应使最终设计的滤波器H₀(ω)最大可能地逼近D(ω)，定义目标函数为：

E=∫_R［D(ω)-H₀(ω)］²(dω)/(π) R∈［0，π］　　　　　(9)

我们的设计应是目标函数E达到最小，相应的阻带误差为：

　　　　(10)

令1=［1，1，…，1］^t，相应的通带误差为：

　　α值的选择说明在设计过程中阻带误差和通带误差被考虑的优化程度。当α=1时，所进行的优化设计仅考虑了使阻带误差最小，没有把通带误差纳入优化过程；当α=0时，相反。因此，在实际设计中要根据具体情况适当地选择α值。由式(13)知实对称、正定矩阵P的元素表示为：

　　　　(14)

因此只要给定ω_s，ω_p，k，α的值，就可根据式(14)计算出正定矩阵P，那么相应于正定矩阵P的最小特征值的特征向量即为使E最小的特征向量b'。又由于H₀(0)=2，即，所以，因此对b'进行标准化就可得到b，即。根据式(4)可求出r(n)，再根据式H₀(z)=(1+z^-1)^kR(z)就可求出我们所需要的小波滤波器脉冲响应h(n)。
　　关于k值的选择：从理论上讲k值可任意选择，k值不同，小波滤波器的正则性程度不同，k值越大，滤波器的正则性程度越大；反之，亦然。但是，正则性程度增大，相应地滤波器的频率检测性能降低。因此应根据具体应用选择k值，来平衡滤波器的频率检测性能和正则性程度的要求。
　　关于ω_s，ω_p的选择：通过以上运算可知，给定不同的ω_s和ω_p，可设计不同的低通近正交线性相位滤波器。在小波分析中，由于选择H₁(z)是H₀(z)的镜相滤波器，因此为了完全重构的需要，我们选择H₀(z)为低通半段(half-band)滤波器，所以ω_s和ω_p关于(π)/(2)对称，即ω_p+ω_s=π，一般选择ω_p接近(π)/(2)。
　　矩阵特征值和特征向量的计算是算法中的重要计算部分。当矩阵维数较大时，特征值和特征向量的计算将相当复杂，如果先将矩阵的所有特征值求出，再选择最小的特征值求其相应的特征向量，那么将花费大量的时间；然而，我们并不需要所有的特征值，而只需要最小一个即可，因此选择快速的算法求得最小特征值及特征向量相当重要。文献［6］给出了矩阵P的最小特征值及特征向量的迭代计算算法。大量的实验表明一般只需要10步以内的迭代就可获得所需要的特征向量。

4　设计模拟实验
　　本节进行滤波器设计模拟实验，设计ω_p=0.43π，ω_s=0.57π的线性相位正则小波滤波器。为了研究参数的选择对滤波器性能的影响，我们进行以下实验，对所有实验选择α=0.5。
　　实验一：设计长度L=20的滤波器。选择不同的k值得到不同的滤波器。其频率响应见图2。由图2可看出用不同的k值设计的滤波器性能不一样，当长度L=20时，由图2知k=7和k=9滤波器性能较好。

图2　L=20，不同k值的频率响应　　　　　图3　L=10，不同k值的频率响应

　　实验二：设计长度L=10的滤波器，选择不同的k值得到不同的滤波器。其频率响应见图3。由图3可看出当L=10时，选择k=3进行滤波器设计，所得滤波器的性能较好。

　　通过实验一和实验二，我们可看出对不同的长度，总能找到相应的k值来得到性能较好的滤波器。但是对不同的长度，选择适当的k值，所得滤波器的性能不同，长度越长，算法所得的滤波器性能越好。在实验中，长度为20的滤波器，选择k=7或k=9，其性能优于长度为10的滤波器。又因为在小波变换中，滤波器长度越长，计算时间越多，因此滤波器长度要根据实际应用对精度的要求来选择。
　　正则性判定：当L=20时，选择k=9，得r(n)=｛0.008903，-0.044251，0.106497，
-0.167675，0.210812，-0.256049，0.294574，-0.256049，0.210812，-0.167675，0.106497，-0.044251，0.008903｝，则B=sup｜｜=0.011049＜1/2，所以滤波器是正则的。当L=10时，选择k=3，得r(n)=｛0.054677，-0.194508，0.260657，-0.064876，0.260657，
-0.194508，0.054677｝，则B=sup｜｜=0.176777＜1/2，所以滤波器是正则的。
从滤波器的设计我们可看出本文给出的设计算法具有以下优点：
　　(1) 算法简单，设计灵活。设计过程不需求解方程组，只需要用迭代算法计算矩阵的最小特征值对应的特征向量即可，便于计算机软件处理。而且，算法还考虑了滤波器的阻带频率和通带频率，可根据需要进行设计。
　　(2) 算法在使滤波器具有线性相位和正则性的同时，最大可能地考虑了正交特性。对不同长度的滤波器，逼近理想频率的特性越好，滤波器的正交性越好。
　　(3) 算法的设计可使滤波器具有最大正则性。选择不同的长度和k值，可使滤波器在具有较好性能的前提下具有最大正则性。

5　结论
　　本文从小波滤波器的正交性要求出发，给出了线性相位近正交任意阶正则小波滤波器的设计方法，算法简单，并可根据不同的要求进行相应的设计，实用性强。此方法也可推广应用于各种滤波器组的设计中，因此有广阔的应用前景。

参　考　文　献

1　Daubechies I.Orthonormal bases of compactly supported wavelets.Comm On Pure and Applied Math，1988，XLI:909~996
2　Vetterli M，Herley C.Wavelets and filter banks:Theory and design.IEEE Trans SP，Sept，1992，40(2)
3　Chen T，Vaidyanathan P P.Phase linearization of filters in analysis/sysnthesis filter banks.In:ICASSP-94
4　Vaidyanathan P P，Nguyen T Q.Eigenfilters:A new approach to leas-squares FIR filter design and applications including nguist filters.IEEE Trans Circuits Syst，Jan，1987，CAS-34(1):11~23
5　Nguyen T Q.The design of arbitrary FIR digital filters using the eignfilter mathod.IEEE Trans SP，March，1993，41(3):1128~1139
6　王福明等.应用数值计算方法.北京：科学出版社，1992